北大教授“手把手”,教你若何学好数学

admin 6个月前 (10-28) 科技 66 0

“由于数学它是有一定头脑的,也就是说,当你把经典内容学清晰之后,再读一些文献,是有可能到达举一反三的效果的。”本文来自微信民众号:格致论道讲坛(ID:SELFtalks),作者:关启安(北京大学数学科学学院教授),原文问题:《学习高等数学,应该先学理论和照样先读文献? | 关启安》,题图来自:视觉中国




这个问题是从强开性料想提及,汇报包罗三部门。


强开性料想的解决


首先,数学一样平常是这样的,讲这个料想,先要讲它是关于什么的一个料想。


它的研究工具被称为乘子理想层,它是n维复流形上的乘子理想层。


这个乘子理想层的界说是复流形上的全纯函数芽层的一个子层,知足加权的L2可积性条件,这是局部可积的一个条件。


这个权,是复流形上的一个多次调和函数。


乘子理想层这个研究工具,是复几何和复代数几何中主要的研究工具,在现代高维代数几何的研究中,起一个中央作用


它的研究难题就是,一样平常的多次调和函数,就是权的奇点很庞大,可以取负无限



下面就要先容一下:在乘子理想层的研究与应用中,做出主要贡献的专家包罗田刚院士、萧荫堂院士、Demailly院士、Kollár院士等。


这里边就要先容一下强开性料想的内容。


首先要先容一下提出的历程


这是Demailly院士在2000年左右提出的,他研究了具有强开性子的乘子理想层并获得主要的功效。


由此提出这样一个料想,就是随便的乘子理想层都具有强开性子。


Demailly教授在他的2012年出书的专著中,称这个料想可能异常难以确立,就是 probably quite hard to estabish。


这个强开性料想另有一个主要的特殊情形,我们称为开性料想,就是普通的乘子理想层具有强开性子。



这里需要解释一下什么是“开”。


这个“开”,可能需要人人学过一点高等数学的内容,高等数学我们都学过。


一说高等数学,我心情就对照愉快,由于我讲过高等数学。


高等数学里边有一个异常主要的观点,就是黎曼可积


然则我们知道,黎曼可积的一个需要条件是有界。


以是说,对于无界的,我们又再界说一个叫做广义的黎曼可积的观点。



这里边有三个函数,三个广义的黎曼积分。


第一第二个我们知道 ,这个广义积分是可积的话,那么它就当且仅当P是小于1的


而第三个积分可积的话,当且仅当P是小于即是1的。


也就是说,它在即是1的地方也是可积的


这样的话,我们知道例1和例2,这个可积的P的取值局限,是一个开区间,这就是我们所谓的开的寄义。


例3是个闭区间,那它也就不具备这个开的性子。


以是我们就说,强开性子实际上对应的就是例1和例2的情形,就是说P取值是一个开区间


再解释一下,若是一个P是可积的,那么这个P还可以再大一点,这是区间的界说。


接下来我们就要讲一下强开性料想的解决,回首一下它的研究历程。


二维的开性料想是被Favre-Jonsson解决的,他们解决的这个料想是通过代数几何的赋值树理论,他们生长了一套叫做赋值树的理论。



他们的论文揭晓在这个顶尖的数学期刊了,这是 JAMS(数学领域最顶级的期刊之一)


二维的强开性料想也是沿着这个路子来的,也是要用到这个所谓的赋值树代数理论,这是Jonsson-Mustata解决。


而开性料想是被Berndtsson解决的,他用的是凸几何当中生长而来的叫做complex Brunn-Minkowski Inequality不等式的这套方式。


强开性料想是被我和我的先生周向宇院士互助解决的。


我们的定理是这个料想建立,就是随便乘子理想层具有强开性子。


固然我们的论文是2015年揭晓的,实际上2013年做出来的。


这个料想难在哪儿?


难在我们不同于之前的方式,我们是对于维数举行了归纳


可能同砚们会觉得很新鲜,前面的人为什么没有想到对于维数举行归纳呢?


这里我们需要解释一下,为什么我没有列一维的开性料想被谁解决。


由于一维的对于专家来说,是一个熟知的经典结论,它有异常多的方式来证实,由于一维的乘子理想层是有分类的,它有结构定理


而二维的情形就异常庞大,我们看到他们揭晓的期刊,也几乎是数学当中最难发的期刊之一了,这是JAMS 和 Inventiones。


而二维之后,它们的代数框架就生长到三维,就很难去举行,而Berndtsson的方式也没有用到对于维数的归纳法。


这里我们可以回首一下,我们在中学学归纳法的时刻,一样平常第一个例子就是1+到N这样一个求和公式,用归纳法来举行证实。


那么N即是1的时刻,这个就不用证了,N即是2的时刻,1+2即是3,你也是很容易证实这件事的。


三维的时刻也还可以,1+2+3即是6,这个也可以。


而这个时刻你异常机智地想,若是N即是K建立,那么K+1怎么证。


这是一个证实历程,对于这个料想来说,我们可以看到,一维是熟知的,二维就异常难题,以是说想用归纳法,这件事情就很难题。


而我跟我的先生经由多次讨论,我们发现了一种在一维情形下的一个全新的证实强开性料想的设施,而这个方式正好可以举行对于维数的归纳,这样我们就完全解决了这个料想。


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这个料想有许多评价,我取了其中一个,就是《美国数学谈论》的一个评价。


评价称,我跟我的先生互助解决的这个强开性料想的事情,是近年来复分析与代数几何交织领域最重大的成就之一。



他用的是the greast achievements,这是一个评价。


既然我们提到了复分析与代数几何交织领域,我们就要说一下,复分析与代数几何交织领域是多复变中最前沿、最焦点的领域,是代数几何中最主要的研究领域之一。


主要研究人物包罗Berndtsson院士、Demailly院士、Hacon院士、Kollár院士和萧荫堂院士等。



数学学习的建议


下面就是先容一下第二部门了,这也是汇报一下我在研究生的时刻学数学的体会,这里引用了我的先生在讨论班上经常教训我们的一些话。


首先是勤于思索,多动脑筋,固然这个是对于基础数学的研究生的学习。


然后是对于一个定理,不光要知道内容、会证实,还要思索条件是否需要,证实是否可以简化,结论是否可以改善,有没有响应的例子等。



需要说一下,这个可能是基础数学学习的一个特点。


我们在中学的时刻,数学往往就是一个条件、一个结论,异常的干净利索。


然则往后我们会发现定理条件越来越多,就会泛起一个问题 ,这个条件是否是有需要的。


固然一样平常来说,经典定理的条件都是有需要的,那我们思量的问题就是,若是这个条件去掉的话,应该就会有反例。


这里也是讨论有没有响应的例子,就是思量这方面的例子。


另有,你要学习它的证实,对照主要的方式,这个证实是否可以简化


若是你可以把这个证实举行简化,那说明你对这个定理的证实的明白,已经异常到位了。


最后就说结论是否可以改善,这件事情就与研究相关了。


若是你可以改善它的结论,那说明你的研究已经更先提高了。


讲高等数学的感悟


实在我的一个主要身份就是数学西席,由于我们的教学义务必须要有的,就是要给本科生教学。


我上课也是,我这学期的教学就是高数,高等数学,以是我正好也讲一讲,高等数学的感悟。


讲到高等数学的感悟,就要讲到我上第一堂课。



实际上我在到北大教学之前,我没有上过这种大课,然则上过小课。


我们新西席培训的时刻,学校的向导异常用心地为我们准备了许多资深的西席,让他们给我们讲若何上第一堂课。


我记得那时好像是一个化学院的资深的教授给我们讲,我也异常认真地做了条记,然则当我推开门进到阶梯教室,看着满屋子学生的时刻,我什么也想不起来了,我就感受我的嘴跟我的人已经分离了。


然后我就讲啊,讲完之后,过了几年,我问第一批学生,我第一堂课是不是对你们举行了异常大的人生启示,或者对你们以后的事情有什么主要的影响。


他们说,这我可能也想不起来,然则我们都记得你那时很重要,说我从小学到中学都没有见过这么重要的先生。


然则现在第一堂课,我一定是要先容一下,实际上是课程先容。


首先先容我是谁,这个课怎么讲,怎么去评分,然后怎么交作业,基本上这个意思。



那么一样平常是这样讲的 ,首先,这个是我们的课本,高等数学。


这个课本内里包罗的内容有一定的特点,它包罗的内容异常多。


由于它包罗微积分、通例方程、线性代数、解析几何等等。


这是实在在数学系里边,这是好几门课,然则它都浓缩在一本书当中。


这样学习起来会有这样一件事情。


一样平常我们更先讲的时刻,先讲极限,为了利便同砚们明白,我们都市跟高中的内容举行一些糅合,慢一点引入,让人人对照轻松愉快地去明白这件事情。


然则会给同砚们一个印象,这个课很简单


然则我们有这么多内容,我们讲到后边,一定就要更先加速了,加速的时刻同砚就会发懵,而这个懵的情形,很有可能会连续到期末。


就是他一旦苏醒,发现快考试了,这又很贫苦。


以是说,同砚们学这个课,一定要提前预习,还要只管明白内容。


要加强明白,就要多做题,多读书,读好书。



然后我们会面临一个问题,两个选择,一个是仔细学习经典内容,照样说,大量地阅读相关的质料。


仔细学习经典内容是一个对照累的历程,由于你要做许多问题,然后要去,仔细地算许多器械,算许多例子。


而阅读相关文献,可能给人一种感受,就是我的知识很渊博。


但我的建议是,先仔细学习经典内容,有余力再阅读相关文献。



为什么呢?


由于数学它是有一定头脑的,也就是说,当你把经典内容学清晰之后,再读一些文献,是有可能到达举一反三的效果的。


固然有同砚一定会有这个疑问 ,若是我学习经典内容还很难题,那我怎么办。


这部门同砚也不要泄气,由于我也经常有这种感受,学习经典内容的时刻,确实也是一直有难题的。


然则,我们只要努力学习就可以了。


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